Question

6．如图，?ABCD∽?A′B′C′D′，E、F分别是DA、AB的中点，E′、F′分别是D′A′、A′B′的中点，求证：五边形BCDEF∽五边形B′C′D′E′F′．

Answer 1

分析 根据相似多边形的性质得到∠A=∠A′，$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{AB}{A′B′}$，根据中点的性质得到△AEF∽△A′E′F′，根据相似多边形的判定定理证明结论．

解答 证明：∵?ABCD∽?A′B′C′D′，
∴∠A=∠A′，$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{AB}{A′B′}$，又E、F分别是DA、AB的中点，E′、F′分别是D′A′、A′B′的中点，
∴$\frac{AE}{A′E′}$=$\frac{AF}{A′F′}$，又∠A=∠A′，
∴△AEF∽△A′E′F′，
∴$\frac{EF}{E′F′}$=$\frac{DE}{D′E′}$=$\frac{AD}{A′D′}$，∠AEF=∠A′E′F′，∠AFE=∠A′F′E′，
∴∠DEF=∠D′E′F′，∠BFE=∠B′F′E′，
∴五边形BCDEF∽五边形B′C′D′E′F′．

点评 本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键．