Question

13．等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，点D，E分别是AC，AB边上的两点．且∠ABD=10°，∠ACE=20°．求∠BDE．

Answer 1

分析 欲求∠BDE，因为∠BDE=∠EDF-∠BDF，所以只要求出∠EDF与∠BDF，为此需要先证明△BEF≌△CFE，△AEG≌△AFG，△BDF≌△AGF，这样可以得到∠EDF=∠FED=50°，∠BDF=∠AGF=30°，由此可以解决问题．

解答 解：作EF平行于BC，交AC于F，连接BF交CE于G，连接AG，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，EB=FC，
∴四边形EBCF是等腰梯形，
∴EC=BF，
在△EFB和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=FE}\\{EB=FC}\\{FB=EC}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CFE
∴∠EBF=∠FCE=20°=∠A，BF=CE
∴AE=AF=CE=BF，
∴∠FBC=60°=∠ECB=∠BGC=∠EGF=∠EFG=∠GEF
∴△EFG，△BCG为等边三角形，
∴EG=FG，
在△AGE和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AE=AF}\\{EG=FG}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△AFG，
∴∠AGE=∠AGF=30°，∠GAE=∠GAF=10°，
∵∠ABG=20°，∠ABD=10°，
∴∠DBF=10°=∠FAG
在△FAG和△FBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{∠AFG=∠BFD}\\{∠FAG=∠DBF}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△AGF
∴DF=GF=EF，∠BDF=∠AGF=30°，
∴△FDE为等腰三角形
∵∠AFE=∠ACB=80°
∴∠EDF=∠DEF=50°
∴∠BDE=∠EDF-∠BDF=20°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，本题用了三次全等，题目有难度．