Question

8．如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点H是BF的中点，连接HA、HG．
（1）若三点B、D、F在同一直线上，探索HA，HG的数量关系和位置关系，并给予证明．
（2）若三点B，D，F不在同一直线上，如图②，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：AH=GH，AH⊥GH，因为点H是中点，所以想到倍长中线的方法添加辅助线（如图1），接下来只要证明①AH=HM②AG=GM即可．
（2）形变结论不变，证明方法类似（1）．

解答 解：（1）如图1，延长AH，FE交于点M，连接GM，AG，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AB=AD，∠ADB=∠GDF=∠ABD=∠DFE=45°，
∴∠ADG=90°，
在△ABH与△HMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHB=∠MHF}\\{BH=FH}\\{∠ABH=∠HFM}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，
∴AD=MF，
在△AGD与△GMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM=90°}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM；
（2）结论仍然成立，AH=GH，AH⊥GH，
理由：如图2，延长AH到M使HM=AH，连接AG，FM，GM，FM交DE于K，
在△ABH与△HMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=HM}\\{∠AHB=∠FHM}\\{BH=FH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△HMF，
∴AB=MF，AH=HM，∠ABH=∠HFM，
∴AD=MF，AB∥FM，
∴FM∥CD，
∴∠MKD+∠CDE=180°，
∵∠ADG+∠CDE=180°，
∴∠DKM=∠ADG，
∵GF∥DE，
∴∠GFM=∠DKM，
∴∠ADG=∠GFM，
在△AGD与△GMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MF}\\{∠ADG=∠GFM}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△GMF，
∴AG=GM，∠AGD=∠FGM，
∵∠FGM+∠DGM=90°，
∴∠AGD+∠DGM=90°，
∴∠AGM=90°，
∴△AGM是等腰直角三角形，
∴AH=HG，GH⊥AM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．