Question

20．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；③BP=4PK；④PM•PA=3PD²，其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到$\frac{KP}{KB}=\frac{PI}{BE}$=$\frac{1}{4}$，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠OMN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD²，故④正确．

解答 解：作PI∥CE交DE于I，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAP=∠CEP}\\{∠ADP=∠ECP}\\{DP=CP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
则$\frac{PI}{CE}=\frac{PD}{DC}$，又点P是CD的中点，
∴$\frac{PI}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AD=CE，
∴$\frac{KP}{KB}=\frac{PI}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BP=3PK，
故③错误；
作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，故①正确；
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=$\sqrt{3}$，
则AP=$\sqrt{7}$，
根据三角形面积公式，BM=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∵点O是线段BK的中点，
∴PB=3PO，
∴OG=$\frac{1}{3}$BM=$\frac{2\sqrt{21}}{21}$，
MG=$\frac{2}{3}$MP=$\frac{2}{7}$，
tan∠OMN=$\frac{OG}{MG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②正确；
∵∠ABP=90°，BM⊥AP，
∴PB²=PM•PA，
∵∠BCD=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠PBC=30°，
∴∠BPC=90°，
∴PB=$\sqrt{3}$PC，
∵PD=PC，
∴PB²=3PD，
∴PM•PA=3PD²，故④正确．
故选B．

点评 本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用．