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【题目】如图,为线段上一动点(不与点重合),在同侧分别作等边三角形和等边三角形交于点交于点交于点,连结.以下结论:①;②;③;④是等边三角形,恒成立的是______

【答案】①②③④

【解析】

△ABC△CDE都是等边三角形,可知AC=BCCD=CE∠ACB=∠DCE=60°,所以∠ACD=∠BCE=120°,所以△ACD≌△BCESAS),从而AD=BE,故正确;②④△ACD≌△BCE∠CBE=∠DAC,加之AC=BC,易得∠ACB=∠BCQ=60°,可证△CQB≌△CPAASA),从而CP=CQ,再加之∠PCQ=60°,可推出PCQ为等边三角形,易得∠PQC=60°=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②④正确;结合△ACD≌△BCE和三角形的外角的性质,可得∠AOB=60°,故正确.

解:①∵等边△ABC和等边△CDE

AC=BCCD=CE,∠ACB=DCE=60°

∴∠ACB+BCD=DCE+BCD,即∠ACD=BCE

∵在△ACD△BCE中,

∴△ACD≌△BCESAS),

AD=BE

故①正确;

④②∵△ACD≌△BCE

∴∠CBE=DAC

∵由∠ACB=DCE=60°得∠BCD=60°

∴∠ACP=BCQ

又∵AC=BC

∴△CQB≌△CPAASA),

CP=CQ

又∵∠PCQ=60°

△PCQ为等边三角形,

∴∠PQC=60°

∴∠PQC=60°=DCE

PQAE

②④正确;

③∵△ACD≌△BCESAS),

∠CAD=∠CBE

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°

∴∠AOB=∠ACB=60°

正确.

故答案为:①②③④.

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