Question

【题目】如图，在菱形中，对角线、交于点，已知，．

（1）求的长；

（2）点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即，交于点．

①当时，求的长；

②连接、，当的长度最小时，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①；②当DF的长度最小时，△ACF的面积为．

【解析】

（1）利用菱形的性质，把所求的BD的一半BO放到Rt△AOB中用勾股定理求解即可；

（2）①当时，可利用△ACD的面积求出CE的长度，因为已知条件中有相等的角∠ECF＝∠BCD，所以寻找△CEF是否与△BCD相似，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出EF的长度；

②如果直接求△ACF面积的最小值并不好求，因为只有一边AC已知，而AC边上的高的最小值并不好确定，所以想办法进行转化.通过题目中的已知条件发现△BCE≌△DCF，从而得出BE=DF，所以当DF最小时，也就是BE最小时.当BE⊥DE时，BE最小，从而可利用相似求出△ACF面积的最小值.

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝CD＝，AC⊥BD，

OA＝OC＝AC＝，OB＝OD，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：

∴BD＝2OB＝8；

（2）①

∴

∴

由旋转的性质得：∠ECF＝∠BCD，CF＝CE，

∴，

∴△ECF∽△BCD，

∴，

∴；

②如图所示：

∵∠BCD=∠ECF

∴∠BCD-∠ECD =∠ECF-∠ECD

∴∠BCE=∠DCF

在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE＝DF，

当BE最小时，DF就最小，且BE⊥DE时，BE最小，

此时∠EBC＝∠FDC＝90°，BE＝DF＝4

∵△BCE,△ABC,△ACD等底等高

∴

∴

∴

过点F作FH⊥AD于H，过点C作CP⊥AD于P，

则∠CPD＝90°，

∴∠PCD+∠PDC＝90°，

∵∠FDC＝90°，

∴∠PDC+∠HDF＝90°，

∴∠PCD＝∠HDF，

∴△PCD∽△HDF，

∴，

∴HF＝，

∴S△ADF＝ADHF＝，

∴S△ACF＝S四边形ACFD﹣S△ADF＝16﹣＝，

即当DF的长度最小时，△ACF的面积为．