Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）P（﹣，）；（3）点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，）．

【解析】

（1）-4a=4，解得：a=-1，则抛物线的表达式为：y=-x2+bx+4，将点A的坐标代入上式并解得：b=3，即可求解；
（2）设：HR=BR=x，则ER=4x，BD=5x=＝，x＝，BH＝x，BG＝1，则GH＝＝，故点H（3，），而点B（4，0），直线HB的表达式为：y= …②，
联立①②并解得：x=4或-（舍去4），即可求解；
（3）分AM是斜边、CM是斜边、AC是斜边三种情况，分别求解即可．

（1）﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx+4，

将点A的坐标代入上式并解得：b＝3，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝，点D（3，4），

过点D作x轴的垂线交BP于点H，交x轴于点G，

过点H作HR⊥BD与点R，

则BG＝1，GD＝4，tan∠BDG＝，∠DBP＝45°，

设：HR＝BR＝x，则DR＝4x， BD＝5x＝＝，x＝， BH＝x，BG＝1，则GH＝＝，故点H（3，），而点B（4，0），同理可得直线HB的表达式为：y＝﹣x+…②，

联立①②并解得：x＝4或﹣（舍去4），

故点P（﹣，）；

（3）设点M（，m），而点A（﹣1，0）、点C（0，4），则AM2＝+m2，CM2＝+（m﹣4）2，AC2＝17，

①当AM是斜边时，+m2＝+（m﹣4）2+17，解得：m＝；

②当CM是斜边时，同理可得：m＝﹣；

③当AC是斜边时，同理可得：m＝或；

综上，点M的坐标为：（，）或（，﹣）或（，）或（，）．