【题目】如图,已 知直线交坐标轴于两点,以线段为边向上作正方形,过点的抛物线与直线另一个交点为.
(1)请直接写出点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑,直至顶点落在x轴上时停止.设正方形落在轴下方部分的面积为,求关于滑行时间的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积.
【答案】(1)C(3,2)D(1,3);
(2)y=-x2+x+1
(3)当0<t≤1时,S△FB′G=FB′×GB′=t=t2
当1<t≤2时,S梯形A′B′HG =t-;
2<t≤3时,S五边形GA′B′C′H=-t2+t-
(4)15.
【解析】
(1)可先根据AB所在直线的解析式求出A,B两点的坐标,即可得出OA、OB的长.过D作DM⊥y轴于M,则△ADM≌△BAO,由此可得出MD、MA的长,也就能求出D的坐标,同理可求出C的坐标;
(2)可根据A、C、D三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)要分三种情况进行讨论:
①当F点在A′B′之间时,即当0<t≤1时,此时S为三角形FBG的面积,可用正方形的速度求出AB′的长,即可求出B′F的长,然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长,即可得出关于S、t的函数关系式.
②当A′在x轴下方,但C′在x轴上方或x轴上时,即当1<t≤2时,S为梯形A′GB′H的面积,可参照①的方法求出A′G和B′H的长,那么梯形的上下底就可求出,梯形的高为A′B′即正方形的边长,可根据梯形的面积计算公式得出关于S、t的函数关系式.
③当D′逐渐移动到x轴的过程中,即当2<t≤3时,此时S为五边形A′B′C′HG的面积,S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积.可据此来列关于S,t的函数关系式;
(4)CE扫过的图形是个平行四边形,经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积.可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积.
(1)C(3,2)D(1,3);
(2)设抛物线为y=ax2+bx+c,抛物线过(0,1)(3,2)(1,3),
解得
y=-x2+x+1
(3)①当点A运动到x轴上时,t=1,
当0<t≤1时,如图1,
∵∠OFA=∠GFB′,
tan∠OFA==
∴tan∠GFB′===
∴GB′=
∴S△FB′G=FB′×GB′=t=t2
②当点C运动到x轴上时,t=2,
当1<t≤2时,如图2,
A′B′=AB==
,
∴A′G=
∵B′H=
∴S梯形A′B′HG=(A′G+B′H)×A′B′= (+)×=t-;
③当点D运动到x轴上时,t=3,
当2<t≤3时,如图3,
∵A′G=
∴GD′=-=,
∵S△AOF=×1×2=1,OA=1,△AOF∽△GD′H
∴=()2
∴S△GD′H=()2,
∴S五边形GA′B′C′H=()2-()2=-t2+t-;
(4)∵t=3,BB′=AA′=3,
∴S阴影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15.
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【题目】如图,⊙O的直径AB=12,AM,BN是⊙O的两条切线,DC切⊙O于E,交BN于C,设AD=x,BC=y.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若x,y是2t2-30t+m=0的两实根,求x,y的值;
(3)求△OCD的面积.
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【题目】定义:如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
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【题目】数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F,求证:AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:在AB上截取BM=BE,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
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【题目】下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值:
(1)请在表内的空格中填入适当的数;
(2)设y=x2+bx+c,则当x取何值时,y<0;
(3)请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象?
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【题目】先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题:
例题:求代数式y2+4y+8的最小值.
解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4
∵(y+2)2≥0
∴(y+2)2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4.
(1)求代数式m2+m+4的最小值;
(2)求代数式4﹣x2+2x的最大值;
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成.如图,设AB=x(m),请问:当x取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B(n,﹣6)两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,左右两个抛物线形是全等的.正常水位时,大孔水面宽度为,顶点距水面,小孔顶点距水面.当水位上涨刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为________.
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