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【题目】如图,已 知直线交坐标轴于两点,以线段为边向上作正方形,过点的抛物线与直线另一个交点为

1)请直接写出点的坐标;

2)求抛物线的解析式;

3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑,直至顶点落在x轴上时停止.设正方形落在轴下方部分的面积为,求关于滑行时间的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;

4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过的面积.

【答案】1C32D13);

2y=-x2+x+1

3)当0<t≤1时,SFB′G=FB′×GB′=t=t2

1<t≤2时,S梯形A′B′HG =t-

2<t≤3时,S五边形GA′B′C′H=-t2+t-

415.

【解析】

1)可先根据AB所在直线的解析式求出AB两点的坐标,即可得出OAOB的长.过DDMy轴于M,则△ADM≌△BAO,由此可得出MDMA的长,也就能求出D的坐标,同理可求出C的坐标;
2)可根据ACD三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式;
3)要分三种情况进行讨论:
①当F点在A′B′之间时,即当0<t≤1时,此时S为三角形FBG的面积,可用正方形的速度求出AB′的长,即可求出B′F的长,然后根据∠GFB′的正切值求出B′G的长,即可得出关于St的函数关系式.
②当A′x轴下方,但C′x轴上方或x轴上时,即当1<t≤2时,S为梯形A′GB′H的面积,可参照①的方法求出A′GB′H的长,那么梯形的上下底就可求出,梯形的高为A′B′即正方形的边长,可根据梯形的面积计算公式得出关于St的函数关系式.
③当D′逐渐移动到x轴的过程中,即当2<t≤3时,此时S为五边形A′B′C′HG的面积,S=正方形A′B′C′D′的面积-三角形GHD′的面积.可据此来列关于St的函数关系式;
4CE扫过的图形是个平行四边形,经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形BCD′A′的面积.可通过求矩形的面积来求出CE扫过的面积.

1C32D13);



2)设抛物线为y=ax2+bx+c,抛物线过(01)(32)(13),


解得

y=-x2+x+1
3)①当点A运动到x轴上时,t=1
0<t≤1时,如图1


∵∠OFA=GFB′
tanOFA==
tanGFB′===
GB′=
SFB′G=FB′×GB′=t=t2

②当点C运动到x轴上时,t=2
1<t≤2时,如图2
A′B′=AB==


A′G=
B′H=
S梯形A′B′HG=A′G+B′H×A′B′= (+=t-
③当点D运动到x轴上时,t=3
2<t≤3时,如图3
A′G=


GD′=-=
SAOF=×1×2=1OA=1△AOF∽△GD′H
=2
SGD′H=()2
S五边形GA′B′C′H=2-)2=-t2+t-

4)∵t=3BB′=AA′=3
S阴影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15

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在此基础上,同学们作了进一步的研究:

(1)小颖提出:如图2,如果把E是边BC的中点改为E是边BC(B,C)的任意一点,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;

(2)小华提出:如图3,EBC的延长线上(C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。

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1)请在表内的空格中填入适当的数;

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3)请说明经过怎样平移函数yx2+bx+c的图象得到函数yx2的图象?

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