Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，且AD+BC=DC，求证：DE⊥EC，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：延长DA与CE，交于F点，由DF与BC平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，再由E为AB中点，得到AE=BE，利用AAS得到三角形AEF与三角形BCE全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=CE，AF=BC，利用等式的性质及AD+BC=AC，等量代换得到DF=DC，利用三线合一得到DE垂直于CE，DE为角平分线，再利用两直线平行，内错角相等及等边对等角得到CE为角平分线．

解答：证明：延长DA和CE交于F，
∵AD∥BC，即AF∥BC，
∴∠F=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
∵E是AB中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中，

∠F=∠BCE ∠FAE=∠CBE AE=BE

，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴EF=CE，AF=BC，
∴DF=AD+AF=AD+BC=DC，
在△DEF和△DEC中，

DE=DE DF=DC EF=CE

，
∴△DEF≌△DEC（SSS），
∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠ADC，∠DEF=∠DEC，
∵∠DEF+∠DEC=180°，
∴∠DEF+∠DEC=90°，即DE⊥EC，
∵DF=DC，
∴∠DCE=∠F，
∵AF∥BC，
∴∠BCE=∠F，
∴∠BCE=∠DCE，即CE平分∠BCD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．