Question

在△ABC中，已知∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CD=2，AD=3，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,旋转的性质

专题：

分析：由题意可得出△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF，推出∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，求出四边形BEGF是正方形，设BD=x，则BE=EG=GF=x，AG=x-3，CG=x-2，在Rt△，AGC中根据勾股定理求出（x-3）²+（x-2）²=（2+3）²，求出即可．

解答：解：
分别以BA和BC为对称轴在△ABC的外部作△BDA和△BDC的对称图形△BEA和△BFC，如图，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF
∴∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，
又∵∠ABC=45°
∴∠EBF=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠BDC=90°，
又∵BE=BD，BF=BD，
∴BE=BF，
∴四边形BEGF是正方形，
设BD=x，则BE=EG=GF=x，
∵CD=2，AD=3，
∴BE=2，CF=3
∴AG=x-3，CG=x-2，
在Rt△，AGC中，AG²+CG²=AC²，
（x-3）²+（x-2）²=（2+3）²，
x₁=6，x₂=-1（舍去），
即BD=6，
故答案为：6．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，综合性比较强，难度偏大．