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【题目】如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、AB上的点,且CE=BF,连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.

(1)请判断:FG与CE的数量关系和位置关系;(不要求证明)

(2)如图2,若点E、F分别是CB、BA延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请给出判断并予以证明;

(3)如图3,若点E、F分别是BC、AB延长线上的点,其它条件不变,(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.

【答案】(1)FG = CE, FG ∥ CE;

(2)仍然成立,证明见解析;

(3)FG = CE , FG ∥ CE仍然成立. 。

【解析】试题分析:1)结论:FG=CEFGCE.如图1中,设DECF交于点M,首先证明CBF≌△DCE,推出DECF,再证明四边形EGFC是平行四边形即可.(2)结论仍然成立.如图2中,设DECF交于点M,首先证明CBF≌△DCE,推出DECF,再证明四边形EGFC是平行四边形即可.(3)结论仍然成立.如图3中,设DEFC的延长线交于点M,证明方法类似.

试题解析:1)结论:FG=CE,FGCE.

理由:图1中,设DECF交于点M.

∵四边形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90°

CBFDCE中,

CBFDCE

∴∠BCF=CDECF=DE

∵∠BCF+DCM=90°

∴∠CDE+DCM=90°

∴∠CMD=90°

CFDE

GEDE

EGCF

EG=DECF=DE

EG=CF

∴四边形EGFC是平行四边形。

GF=EC

GF=EC,GFEC.

(2)结论仍然成立。

理由:如图2中,设DECF交于点M.

∵四边形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90

CBFDCE中,

CBFDCE

∴∠BCF=CDECF=DE

∵∠BCF+DCM=90°,

∴∠CDE+DCM=90°

∴∠CMD=90°

CFDE

GEDE

EGCF

EG=DECF=DE

EG=CF

∴四边形EGFC是平行四边形。

GF=EC

GF=EC,GFEC.

(3)结论仍然成立。

理由:如图3中,设DEFC的延长线交于点M.

∵四边形ABCD是正方形,

BC=CD,ABC=DCE=90

∴∠CBF=DCE=90

CBFDCE中,

CBFDCE

∴∠BCF=CDECF=DE

∵∠BCF+DCM=90°

∴∠CDE+DCM=90°

∴∠CMD=90°

CFDE

GEDE

EGCF

EG=DECF=DE

EG=CF

∴四边形EGFC是平行四边形。

GF=EC

GF=EC,GFEC.

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