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【题目】 如图1P是菱形ABCD对角线AC上的一点,点EBC的延长线上,且PE=PB

1)求证:PD=PE

2)求证:∠DPE=ABC

3)如图2,当四边形ABCD为正方形时,连接DE,试探究线段DE与线段BP的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)DE=BP,理由详见解析

【解析】

1)根据菱形的性质得出BC=DC,∠BCP=DCP,然后利用边角边证明BCP≌△DCP得出PB=PD,由已知PE=PB,即可得出结论;

2)根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=CDP,根据等边对等角可得∠CBP=E,然后求出∠DPE=DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=ABC,从而得证;

3)证出PDE是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的性质得出DE=PE,即可得出结论.

(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,

BC=DC,∠BCP=DCPABDC

∵在BCPDCP中,

∴△BCP≌△DCPSAS),

PB=PD

PE=PB

PD=PE

(2)证明:如图1所示:

由(1)知,BCP≌△DCP

∴∠CBP=CDP

PE=PB

∴∠CBP=E

∵∠CFE=DFP(对顶角相等),

180°-DFP-CDP=180°-CFE-E

即∠DPE=DCE

ABCD

∴∠DCE=ABC

∴∠DPE=ABC

3)解:DE=BP,理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=90°

由(1)知:PD=BP=PE

由(2)知,∠DPE=ABC=90°

∴△PDE是等腰直角三角形,

DE=PE

DE=BP

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