【题目】如图,直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于A、C两点,抛物线y=﹣x2+mx+4经过点A,且与x轴的另一个交点为点B.连接BC,过点C作CD∥x轴交抛物线于点D
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点E是抛物线上的点,求满足∠ECD=∠BCO的点E的坐标;
(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点P为第一象限内的抛物线上一点,若以点C、M、N、P为顶点的四边形是菱形,求菱形的边长.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)E的坐标为E或;(3)4﹣2或.
【解析】
(1)利用直线方程求得点A、C的坐标,根据点A、C坐标求得抛物线解析式;
(2)分点E在CD上方、点E在CD下方两种情况,分别求解即可;
(3)分CM为菱形的一条边、CM为菱形的对角线两种情况,分别求解即可.
解:(1)y=﹣x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,
则点A、C的坐标分别为(4,0)、(0,4),
将点A的坐标代入抛物线的表达式并解得:m=3,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+3x+4①,
令y=0,则x=﹣1或4,故点B(﹣1,0);
(2)①当点E在CD上方时,
tan∠BCO=,
则直线CE的表达式为:y=x+4②,
联立①②并解得:x=0或(舍去0),
则点E(,);
②当点E在CD下方时,
同理可得:点E′(,);
故点E的坐标为E(,)或(,);
(3)①如图2,当CM为菱形的一条边时,
过点P作PQ∥x轴,∵OA=OC=4,
∴∠PMQ=∠CAO=45°,
设点P(x,﹣x2+3x+4),
则PM=PQ=x,
C、M、N、P为顶点的四边形是菱形,则PM=PN,
即:x=﹣x2+3x+4,解得:x=0或4﹣(舍去0),
故菱形边长为x=4﹣2;
②如图3,当CM为菱形的对角线时,
同理可得:菱形边长为2;
故:菱形边长为4﹣2或.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(2,0),C三点.直线y=mx+交抛物线于A,Q两点,点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点,作PF⊥x轴,垂足为F,交AQ于点N.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,当点P运动到什么位置时,线段PN=2NF,求出此时点P的坐标;
(3)如图②,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,点M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y= (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是( )
A. 6 B. 10 C. 2 D. 2
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AC是直径,点D是AC延长线上一点,且∠DBC=∠BAC,.
(1)求证:BD是⊙O的切线;(2)求的值;(3)如图,直径AC=5,,求△ABF面积.
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【题目】某乡镇实施产业扶贫,帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果到了收获季节,投入市场销售时,调查市场行情,发现该苹果的销售不会亏本,且该产品的日销售量y(千克)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表:
销售单价x(元) | 10 | 15 | 23 | 28 |
日销售量y(千克) | 200 | 150 | 70 | m |
日销售利润w(元) | 400 | 1050 | 1050 | 400 |
(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))
(1)求y关于x的函数解析式(要写出x的取值范围)及m的值;
(2)根据以上信息,填空:产品的成本单价是 元,当销售单价x= 元时,日销售利润w最大,最大值是 元;
(3)某农户今年共采摘苹果4800千克,该品种苹果的保质期为40天,根据(2)中获得最大利润的方式进行销售,能否销售完这批苹果?请说明理由
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【题目】某中学为了科学建设“学生健康成长工程”.随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题为“周末孩子在家您关心吗?”的问卷调查,将回收的问卷进行分析整理,得到了如下的样本统计表和扇形统计图:
代号 | 情况分类 | 家庭数 |
带孩子玩并且关心其作业完成情况 | 16 | |
只关心其作业完成情况 | b | |
只带孩子玩 | 8 | |
既不带孩子玩也不关心其作业完成情况 | d |
(1)求的值;
(2)该校学生家庭总数为500,学校决定按比例在类家庭中抽取家长组成培训班,其比例为类取20%,类各取60%,请你估计该培训班的家庭数;
(3)若在类家庭中只有一个城镇家庭,其余是农村家庭,请用列举法求出在类中随机抽出2个家庭进行深度采访,其中有一个是城镇家庭的概率.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为_____.
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【题目】有以下六个命题,①同旁内角互补;②若x2=4,则x=2;③;④平分弦的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆心角相等;⑥相等的圆心角所对的弧相等.从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为_____.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “买一张电影票,座位号为偶数”是必然事件
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2=0.3,S乙2=0.1,则甲组数据比乙组数据稳定
C. 一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5
D. 一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是5
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