Question

【题目】已知函数f（x）= x3﹣ x2+logax，（a＞0且a≠1）为定义域上的增函数，f'（x）是函数f（x）的导数，且f'（x）的最小值小于等于0． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数 ，且g（x1）+g（x2）=0，求证： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ， 由f（x）为增函数可得，f'（x）≥0恒成立，即 ，得 ，
设m（x）=2x3﹣3x2 ， 则m'（x）=6x2﹣6x（x＞0），
由m'（x）=6x（x﹣1）＞0，得x＞1，由m'（x）=6x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．
∴m（x）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增，在1处取得极小值即最小值，
∴m（x）min=m（1）=﹣1，则 ，即 ，
当a＞1时，易知a≤e，当0＜a＜1时，则 ，这与 矛盾，从而不能使得f'（x）≥0恒成立，
∴a≤e；
由f'（x）min≤0可得， ，即 ，
由之前讨论可知， ，当1＞a＞0时， 恒成立，
当a＞1时，由1≥ ，得a≥e，
综上a=e；
（Ⅱ）证明： ，
∵g（x1）+g（x2）=0，
∴ ，
∴ ，
即 ，
则
∴ ，
令x1x2=t，g（t）=lnt﹣t，
则 ，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上减，g（t）≤g（1）=﹣1，
∴ ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
∴ ．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由题意可得f'（x）≥0恒成立，即 ，构造函数m（x）=2x3﹣3x2 ， 利用导数求其最小值，由其最小值大于等于 可得a≤e；再由f'（x）min≤0求得a≥e，可得a=e； （Ⅱ）由 ，结合g（x1）+g（x2）=0，可得 ，令x1x2=t，g（t）=lnt﹣t，求导可得g（t）≤g（1）=﹣1，得到 ，求解得答案．