Question

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=6cm，点E在AB上，点F在BC上，AE=BF=2cm，连接AF与CE交于P点，求DP的长．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：连接AC，根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠B=∠CAB=60°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CAE全等即可；求出∠BAF=∠ADP，∠DAP=∠AFB，证出△ADP和△BAF全等即可．

解答：解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC=6cm，
∴AD=AC，
在△ABF和△CAE中，

AB=AC ∠B=∠CAE BE=AE

，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
∴∠BAF=∠ACE，∠AEC=∠AFB，
∴∠APC=∠AEC+∠BAF=∠AFB+∠BAF=180°-∠B=120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠B=60°，
∴∠APC+∠ADC=180°，
∴APCD四点共圆，
∴∠ADP=∠ACE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠AFB=∠AEC，
在△ADP和△FAB中，

∠ADP=∠BAF ∠PAD=∠BFA AD=AF

，
∴△ADP≌△FAB，
∴DP=AB=6cm．

点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△ABF≌△CAE，△ADP≌△FAB，难度偏大．