Question

如图，CD为⊙O的弦，E、F在直径AB上，EC⊥CD，DF⊥CD．求证：AE=BF．

Answer 1

考点：垂径定理,梯形中位线定理

专题：证明题

分析：作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，再由EC⊥CD，DF⊥CD得到EC∥OH∥DE，于是可判断OH为梯形CDFE的中位线，所以OE=OF，然后利用线段的加减即可得到结论．

解答：证明：作OH⊥CD于H，如图，则CH=DH，
∵EC⊥CD，DF⊥CD，
∴EC∥OH∥DE，
∴OH为梯形CDFE的中位线，
∴OE=OF，
而OA=OB，即OE+AE=OF+BF，
∴AE=BF．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了梯形的中位线性质．