Question

如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6

2

，那么S_△AOB=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=6

2

，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，即可求得△AOB的面积，即可解题．

解答：解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，

∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中，

BA=CG ∠ABO=∠ACO OB=OC

，
∴△BAO≌△CGO，（SAS）
∴OA=OG，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
∴∠BAO=135°，
∴S_△ABO=

1

2

AB•AO•sin∠BAO=12，
故答案为：12．

点评：本题主要考查直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△BAO≌△CGO是解题的关键．