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【题目】如图,在平面直角坐标系中有抛物线yax222yaxh2,抛物线yax222经过原点,与x轴正半轴交于点A,与其对称轴交于点B;点P是抛物线yax222上一动点,且点Px轴下方,过点Px轴的垂线交抛物线yaxh2于点D,过点DPD的垂线交抛物线yaxh2于点D(不与点D重合),连接PD,设点P的横坐标为m

1)①直接写出a的值;

②直接写出抛物线yax222的函数表达式的一般式;

2)当抛物线yaxh2经过原点时,设△PDD与△OAB重叠部分图形周长为L

①求的值;

②直接写出Lm之间的函数关系式;

3)当h为何值时,存在点P,使以点OADD为顶点的四边形是菱形?直接写出h的值.

【答案】1)①;②y2x

2)①1

L

3h±

【解析】

1)①将x0y0代入yax222中计算即可;②y2x

2)将(00)代入yaxh2中,可求得ayx2,待定系数法求OBAB的解析式,由点P的横坐标为m,即可表示出相应线段求解;

3)以点OADD为顶点的四边形是菱形,DDOA,可知点D的纵坐标为2,再由ADOA4即可求出h的值.

解:(1)①将x0y0代入yax222中,

得:0a0222

解得:a

y2x;.

2)∵抛物线yaxh2经过原点,a

yx2

A40),B2,﹣2),

易得:直线OB解析式为:y=﹣x,直线AB解析式为:yx4

如图1

②如图1,当0m≤2时,LOE+EF+OF

2m4时,如图2,设PDx轴于G,交ABHPDx轴于E,交ABF

DDEG

,即:EGPDPEDD,得:EG2m)=(2mm22m

EG2mm2EF4m

LEG+EF+FH+GHEG+EF+PG

3)如图3

OADD为菱形

ADAODD4

PD2

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