Question

13．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，C为弧AB上的动点，ON、OM分别与BC、AC垂直，垂足为N，M．过点N作NP⊥OM，垂足为P，则NP的长为（　　）

• A． 随C点的运动而变化，NP的取值范围是1≤NP≤$\sqrt{2}$
• B． 随C点的运动而变化，最大值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． 等于$\sqrt{2}$
• D． 随C点的运动而变化，没有最值

Answer 1

分析 连结OC，如图，根据等腰三角形的性质，由OB=OC，ON⊥BC得到∠1=∠2，BN=CN，同理可得∠3=∠4，所以MON=45°，于是可判断△ONP为等腰直角三角形，则NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，根据勾股定理得ON=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{1}{4}B{C}^{2}}$，易得$\sqrt{2}$≤ON≤2，所以1≤NP≤$\sqrt{2}$．

解答 解：连结OC，如图，
∵OB=OC，ON⊥BC，
∴∠1=∠2，BN=CN，
同理可得∠3=∠4，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，即MON=45°，
∵NP⊥OM，
∴△ONP为等腰直角三角形，
∴NP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ON，
在Rt△OBN中，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{1}{4}B{C}^{2}}$，
当点C在点B时，ON=2，当点C在点A时，BC=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{2}$，则ON=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$≤ON≤2，
∴1≤NP≤$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了轨迹：点按运动规律运动所形成的图形叫点运动的轨迹，利用几何性质探讨运动过程中的变化规律．