Question

如图，⊙O的半径为2，弦BC=2

3

，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：
①∠A始终为60°；
②当∠ABC=45°时，AE=EF；
③当△ABC为锐角三角形时，ED=

3

；
④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．
其中正确的结论是

 

．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：推理填空题

分析：①延长CO交⊙O于点G，如图1．在Rt△BGC中，运用三角函数就可解决问题；②只需证到△BEF≌△CEA即可；③易证△AEC∽△ADB，则

AE

AD

=

AC

AB

，从而可证到△AED∽△ACB，则有

ED

BC

=

AE

AC

．由∠A=60°可得到

AE

AC

=

1

2

，进而可得到ED=

3

；④取BC中点H，连接EH、DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=DH=

1

2

BC，所以线段ED的垂直平分线必平分弦BC．

解答：解：①延长CO交⊙O于点G，如图1．
则有∠BGC=∠BAC．
∵CG为⊙O的直径，∴∠CBG=90°．
∴sin∠BGC=

BC

CG

=

2 3

4

=

3

2

．
∴∠BGC=60°．
∴∠BAC=60°．
故①正确．
②如图2，
∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，
∴∠ECB=45°=∠EBC．
∴EB=EC．
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=90°．
∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．
∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．
在△BEF和△CEA中，

∠FBE=∠ACE BE=CE ∠BEF=∠CEA=90°

．
∴△BEF≌△CEA．
∴AE=EF．
故②正确．
③如图2，
∵∠AEC=∠ADB=90°，∠A=∠A，
∴△AEC∽△ADB．
∴

AE

AD

=

AC

AB

．
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB．
∴

ED

BC

=

AE

AC

．
∵cosA=

AE

AC

=cos60°=

1

2

，
∴

ED

BC

=

1

2

．
∴ED=

1

2

BC=

3

．
故③正确．
④取BC中点H，连接EH、DH，如图3、图4．
∵∠BEC=∠CDB=90°，点H为BC的中点，
∴EH=DH=

1

2

BC．
∴点H在线段DE的垂直平分线上，
即线段ED的垂直平分线平分弦BC．
故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上等知识，综合性比较强，是一道好题．