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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论: ①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1

其中正确的是________

【答案】①③⑤

【解析】

①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①正确根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②错误将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④正确,⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.

抛物线的顶点坐标A(1,3),

∴对称轴为x=-=1,

∴2a+b=0,①正确,

∵a,b,抛物线与y轴交于正半轴,

∴c

∴abc0,②错误,

∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度,

∴顶点坐标为(1,0),抛物线与x轴只有一个交点,即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根, ③正确.

∵对称轴为x=-=1,与x轴的一个交点为(4,0),根据对称性质可知与x轴的另一个交点为(-2,0),④错误,

由抛物线和直线的图像可知,当1<x<4时,有y2y1. ⑤正确.

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