【题目】在平面直角坐标系xOy中,顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点D,已知A(1,4),B(3,0).
(1)求抛物线对应的二次函数表达式;
(2)探究:如图1,连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由;
(3)应用:如图2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n=﹣1,连接PA、PC,在线段PC上确定一点M,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标.提示:若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段AB的中点坐标为(,).
【答案】(1)y=﹣x2+2x﹣3;(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分,理由见解析;(3)点N(,﹣).
【解析】
(1)函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,将点B坐标的坐标代入上式,即可求解;
(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等,即可求解;
(3)由(2)知:点N是PQ的中点,根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式,同理求出AC,DQ的解析式,并联立方程求出Q点的坐标,从而即可求N点的坐标.
(1)函数表达式为:y=a(x﹣1)2+4,
将点B坐标的坐标代入上式得:0=a(3﹣1)2+4,
解得:a=﹣1,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x﹣3;
(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分,理由:
如图1,∵DE∥AO,S△ODA=S△OEA,
S△ODA+S△AOM=S△OEA+S△AOM,即:S四边形OMAD=S△OBM,
∴S△OME=S△OBM,
∴S四边形OMAD=S△OBM;
(3)设点P(m,n),n=﹣m2+2m+3,而m+n=﹣1,
解得:m=﹣1或4,故点P(4,﹣5);
如图2,故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q,
由(2)知:点N是PQ的中点,
设直线PC的解析式为y=kx+b,
将点C(﹣1,0)、P(4,﹣5)的坐标代入得:,
解得:,
所以直线PC的表达式为:y=﹣x﹣1…①,
同理可得直线AC的表达式为:y=2x+2,
直线DQ∥CA,且直线DQ经过点D(0,3),
同理可得直线DQ的表达式为:y=2x+3…②,
联立①②并解得:x=﹣,即点Q(﹣,),
∵点N是PQ的中点,
由中点公式得:点N(,﹣).
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【题目】某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛,在选拔赛中,两人各射箭10次的成绩(单位:环数)如下:
次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
王方 | 7 | 10 | 9 | 8 | 6 | 9 | 9 | 7 | 10 | 10 |
李明 | 8 | 9 | 8 | 9 | 8 | 8 | 9 | 8 | 10 | 8 |
(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:
王方10次射箭得分情况
环数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
频数 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | |
频率 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
李明10次射箭得分情况
环数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
频率 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
(2)分别求出两人10次射箭得分的平均数;
(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.
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【题目】某校为了解九年级学生的体育达标情况,随机抽取名九年级学生进行体育达标项目测试,测试成绩如下表,请根据表中的信息,解答下列问题:
(1)该校九年级有名学生,估计体育测试成绩为分的学生人数;
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为分的甲、乙、丙、丁名学生进行分组强化训练,要求两人一组,求甲和乙恰好分在同一组的概率.(用列表或树状图方法解答)
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【题目】天门山索道是世界最长的高山客运索道,位于张家界天门山景区.在一次检修维护中,检修人员从索道A处开始,沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护.如图:已知米,米,AB与水平线的夹角是,BC与水平线的夹角是.求:本次检修中,检修人员上升的垂直高度是多少米?(结果精确到1米,参考数据:)
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【题目】如图,PA、PB为圆O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是( )
A. PA=PBB. ∠BPD=∠APDC. AB⊥PDD. AB平分PD
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【题目】列方程解应用题:某列车平均提速80km/h,用相同的时间,该列车提速前行驶300km,提速后比提速前多行驶200km,求该列车提速前的平均速度.
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【题目】某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地.现决定在其中一个基地修建总仓库,以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储.已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2,各基地之间的距离之比a:b:c:d:e=2:3:4:3:3(因条件限制,只有图示中的五条运输渠道),当产品的运输数量和运输路程均相等时,所需的运费相等.若要使总运费最低,则修建总仓库的最佳位置为( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
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【题目】某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号,他们将其中某些材料摘录如下:
对于三个实,数,,,用表示这三个数的平均数,用表示这三个数中最小的数,例如=4,,.请结合上述材料,解决下列问题:
(1)①_____,
②_____;
(2)若,则的取值范围为_____;
(3)若,求的值;
(4)如果,求的值.
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【题目】甲、乙两个工程队需完成A、B两个工地的工程.若甲、乙两个工程队分别可提供40个和50个标准工作量,完成A、B两个工地的工程分别需要70个和20个标准工作量,且两个工程队在A、B两个工地的1个标准工作量的成本如下表所示:
A工地 | B工地 | |
甲工程队 | 800元 | 750元 |
乙工程队 | 600元 | 570元 |
设甲工程队在A工地投入x(20≤x≤40)个标准工作量,完成这两个工程共需成本y元.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)请判断y是否能等于62000,并说明理由.
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