Question

20．如图，△ABC为等边三角形，点D在BC的延长线上，CE平分∠ACD，且∠ADE=60°．
（1）求证：AC+CD=CE；
（2）求证：△ADE为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）作DF∥EC，延长AC交于F，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据等边三角形的判定解答即可．

解答 证明：（1）作DF∥EC，延长AC交于F，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD=60°，
∵DF∥EC，
∴∠F=∠ACE=60°，∠CDF=∠ECD=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠F=60°，CD=CF=DF，
∵∠ACD+∠CDF=∠ACD+∠ADE，
∴∠ADF=∠CDE，
在△FDA与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CDE}\\{∠ECD=∠F=60°}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△FDA≌△CDE（AAS），
∴AF=EC，AD=DE，
∴AC+CF=EC，
即AC+CD=EC；
（2）由（1）可知，AD=DE，∠ADE=60°，
故△ADE是等边三角形．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明．