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【题目】定义:如图,点MN把线段AB分割成AM.MNNB,若以AMMNNB为边的三角形是一个直角三角形,则称点MN是线段AB的勾股分割点.

1)已知MN线段AB分割成AMMNNB,若,则点MN是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由;

2)已知点MN是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若,求BN的长.

【答案】1)点MN是线段AB的勾股分割点,理由见详解;(2)12或13.

【解析】

1)根据勾股定理的逆定理,即可判断点MN是线段AB的勾股分割点;

(2)设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-x,分3种情况,分类讨论:①当MN是最长边时,,②当BN是最长边时,,③当AM是最长边时,这种情况不存在;分别进行求解,即可.

(1)点MN是线段AB的勾股分割点,理由如下:

又∵

∴以AMBNMN为边的三角形是直角三角形,

∴点MN是线段AB的勾股分割点;

(2)设BN=x

MN=30-AM-BN=25-x

①当MN是最长边时,

∵点MN是线段AB的勾股分割点,

解得:x=12

②当BN是最长边时,

∵点MN是线段AB的勾股分割点,

解得:x=13

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