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【题目】如图,抛物线yax24axbx轴正半轴于AB两点,交y轴正半轴于C,且OBOC3.

(1) 求抛物线的解析式

(2) 如图1D为抛物线的顶点,P为对称轴左侧抛物线上一点,连接OP交直线BCG,连GD.是否存在点P,使?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由

(3) 如图2,将抛物线向上平移m个单位,交BC于点MN.若∠MON45°,求m的值.

【答案】(1)yx24x3 ;(2) P();(3)

【解析】分析:(1),,代入,解方程组即可.
(2)如图1,连接ODBD,对称轴交x轴于K,绕点O逆时针旋转90°得到OCG,则点G在线段BC,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.利用方程组即可解决问题. (3)如图2,绕点O顺时针旋转得到,首先证明,,,,
设平移后的抛物线的解析式为,消去y得到,,推出,,MN关于直线对称,所以,,,利用勾股定理求出a以及MN的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.

本题解析:

(1),,,代入,
,解得,
∴抛物线的解析式为

(2)如图1,连接ODBD,对称轴交x轴于K.

由题意,,,,
,,
,
绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.
设直线OD的解析式为,D点坐标代入得到,/span>,
,
∴直线OD的解析式为,
,
∴直线OG的解析式为,
解得,
P在对称轴左侧,
P坐标为

(3)如图2,绕点O顺时针旋转90°得到

,
,
,,,
,
,
,
,
,
,,,
设平移后的抛物线的解析式为,
消去y得到,

,,
MN关于直线对称,
,,,
,
(负根已经舍弃),
,
,

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