Question

【题目】如图，，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①；②FA平分；③；④．其中一定正确的结论有（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；

根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．

∵△ABD和△ACE是等边三角形，

∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．

∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，

∴∠BAE=∠DAC，

在△BAE和△DAC中，

∵，

∴△BAE≌△DAC（SAS），

∴BE=CD，①正确；

过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．

∵△BAE≌△DAC，

∴∠BEA=∠ACD，

∴∠AEM=∠ACN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，

∴∠AME=∠ANC．

在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，

∴△AME≌△ANC，

∴AM=AN．

∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；

在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．

∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，

∴∠AEF+∠ACD=180°，

∴∠EAC+∠EFC=180°．

∵∠EAC=60°，

∴∠EFC=120°．

∵FA平分∠EFC，

∴∠EFA=∠CFA=60°．

∵EF=FG，∠EFA=60°，

∴△EFG是等边三角形，

∴EF=EG．

∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，

∴∠AEG=∠CEF，

在△AGE和△CFE中，

∵，

∴△AGE≌△CFE（SAS），

∴AG=CF．

∵AF=AG+FG，

∴AF=CF+EF，④正确；

∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，

∴FE≠FD，③错误，

∴正确的结论有3个．

故选C．