Question

【题目】如图，BC是⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，且弧CD=DE，连接EB、DO．

（1）求证：EB∥DO；

（2）连接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直线EA交CB的延长线于A，求证：直线EA是⊙O的切线；

（3）若EA=2，AB=1，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）⊙O半径长为．

【解析】

（1）由垂径定理得：OD⊥EC；由圆周角定理，得：BE⊥EC；由此可证得EB∥DO；

（2）连接OE，证得∠OEA=90°即可；

（3）根据AE2=ABAC，即可求得AC长，进而求得⊙O的半径长．

（1）∵弧CD=DE，

∴OD⊥EC，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥EC，

∴EB∥DO；

（2）连接OE，

∵OC=OE，

∴∠C=∠OEC，

∵∠BEA=∠C，

∴∠BEA=∠OEC，

∵∠CEO+∠BEO=90°，

∴∠BEA+∠BEO=90°，即∠OEA=90°，

∴直线EA是⊙O的切线；

（3）∵AE是切线，AC是割线，

∴由切割线定理知：AE2=ABAC，

∴AC=AE2÷AB=4，

∴BC=AC﹣AB=3，

∴⊙O半径长为．