【题目】阅读材料:“直角三角形如果有一个角等于 ,那么这个角所对的边等于斜边的一半”,即“在
中,
,则
”.利用以上知识解决下列问题:如图,已知
是
的平分线上一点.
(1)若与射线
分别相交于点
,且
.
①如图1,当时,求证:
;
②当时,求
的值.
(2)若与射线
的反向延长线、射线
分别相交于点
,且
,请你直接写出线段
三者之间的等量关系.
【答案】(1)①证明见解析;②;(2)OM-ON=
【解析】
(1)①根据题意证明CNO=90°及∠COM=∠CON=30°,可利用题目中信息得到OM=ON,再利用勾股定理即可解答;
②证明△COM≌CON,得到∠CMO=∠CNO=90°,再利用①中结论即可;
(2)根据题意作出辅助线,再证明△MCE≌△NCF(ASA),得到NF=ME,由30°直角三角形的性质得到OE=OF=,进而得到OM-ON=
即可.
(1)①证明:∵CM⊥OA,
∴∠CMO=90°,
∵,∠MCN=120°,
∴∠CNO=360°-∠CMO-∠AOB-∠MCN=90°,
∵C是∠AOB平分线上的一点,
∴CM=CN,∠COM=∠CON=30°,
∵OC=2,
∴CM=CN=1,
由勾股定理可得:OM=ON=,
∴
②当时,
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠COM=∠CON=30°,
在△COM与CON中
∴△COM≌CON(SAS)
∴∠CMO=∠CNO
∵∠AOB=60°,∠MCN=120°,
∴∠CMO+∠CNO=360°-60°-120°=180°
∴∠CMO=∠CNO=90°,
又①可知
(2)如图所示,作CE⊥OA于点E,作CF⊥OB于点F,
∵∠AOB=60°,
∴∠ECF=120°,
又∵∠MCN=120°,
∴∠MCE+∠ECN=∠NCF+∠ECN
∴∠MCE=∠NCF
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠COM=∠CON=30°,CE=CF
∴在△MCE与△NCF中,
∴△MCE≌△NCF(ASA)
∴NF=ME
又∵△OCE≌△OCF,∠COM=∠CON=30°,
∴CE=CF=
∴OE=OF=
∴OM-OE=ON+OF,
∴OM-ON=OE+OF=,
故答案为:OM-ON=
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【题目】已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在二次函数y=x2+mx+n的图象上,当x1=1、x2=3时,y1=y2.
(1)①求m;②若抛物线与x轴只有一个公共点,求n的值.
(2)若P(a,b1),Q(3,b2)是函数图象上的两点,且b1>b2,求实数a的取值范围.
(3)若对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2,求n的范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,的三个顶点的坐标分别为
,
,
.
(1)画出将向上平移2个单位长度,再向左平移5个单位长度后得到的
;
(2)画出将绕点
按顺时针方向旋转90°得到的
;
(3)在轴上存在一点
,满足点
到点
与点
的距离之和最小,请直接写出点
的坐标.
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【题目】已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上,在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )
A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C
B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C. 取AB中点C,连接PC
D. 过点P作PC⊥AB,垂足为C
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.
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【题目】如图,BC是⊙O的直径,D、E是⊙O上的两点,且弧CD=DE,连接EB、DO.
(1)求证:EB∥DO;
(2)连接EC,在∠CEB的外部作∠BEA=∠C,直线EA交CB的延长线于A,求证:直线EA是⊙O的切线;
(3)若EA=2,AB=1,求⊙O的半径长.
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【题目】如图,是由6个大小相同的小正方形组成的方格.
(1)如图1,A、B、C是三个格点,判断AB与BC的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,直接写出∠α+∠β的度数.
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【题目】如图1,两个不全等的等腰直角三角形和
叠放在一起,并且有公共的直角顶点
.
(1)在图1中,你发现线段的数量关系是______.直线
相交成_____度角.
(2)将图1中绕点
顺时针旋转90°,连接
得到图2,这时(1)中的两个结论是否成立?请作出判断说明理由.
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【题目】如图,点A,B在双曲线y=(x>0)上,点C在双曲线y=
(x>0)上,若AC∥y轴,BC∥x轴,且AC=BC,则AB等于( )
A. B. 2
C. 4 D. 3
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