Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．

（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．

（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，请求出k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣1）；（2）m＝2；（3）2﹣≤k＜2+．

【解析】

（1）将抛物线的解析式化为顶点式即可求得结果；

（2）依题意根据对称性求得OC=3，即可得m2﹣1=3，从而求得m的值；

（3）将点A(k+4，1)，点B(1，k2)代入抛物线，此时是线段AB与抛物线刚相交的时候，结合图象分析即可得k的取值范围，再求出AB的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点可求出k的另外一个取值．

解：（1）∵y=x22mx+m21=(xm)21，

∴抛物线的顶点坐标为(m，1)；

（2）由y=x22mx+m21得，

∵CD=8，依题意由对称性可知，点C到直线y=1的距离为4，

∴OC=3，

∴m2﹣1=3，解得：m=±2，

∵m＞0，

∴m=2；

（3）∵m=2，

∴抛物线为y=x24x+3，

当抛物线经过点A(k+4，1)时，或；

当抛物线经过点B(1，k2)时，k=2；

∴线段AB与抛物线y=x22mx+m21只有一个公共点时，由图象得：

或，

设直线AB的解析式为：y=ax+b，将点A(k+4，1)，点B(1，k2)代入得：

，解得，

∴y=x+k3，

若直线AB与抛物线y=x22mx+m21只有一个公共点，

则x24x+3=x+ k3，即x25x+6k=0，=0，

∴=254×(6k)=0，

解得：，此时线段AB与抛物线y=x24x+3只有一个公共点，

综上所述：当线段AB与抛物线y=x22mx+m21只有一个公共点时，

k的取值范围是：或或．