Question

【题目】如图 1，一张△ABC 纸片，点 M、N 分别是 AC、BC 上两点.

（1）若沿直线 MN 折叠，使 C 点落在 BN 上，则∠AMC′与∠ACB 的数量关系是 ；

（2）若折成图 2 的形状.猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系，并说明理由.

猜想： .

理由：

（3）若折成图3 的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系是 .（写出结论即可）.

（4）将上述问题推广，如图4，将四边形 ABCD 纸片沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABNM 的内部时，∠AMD′＋∠BNC′与∠C、∠D 之间的数量关系 是 （写出结论即可）.

Answer 1

【答案】（1）∠AMC′=2∠ACB；（2）∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由见详解；（3）∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；（4）∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°.

【解析】

（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；

（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；

（3）利用两次外角定理得∠AMC′=∠C′+∠C+∠BNC′，然后根据等量代换，得出结论；

（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，代入前式可得结论．

解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，

∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，

∴∠AMC′=2∠ACB；

故答案为：∠AMC′=2∠ACB；

（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，

理由是：

由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，

∵∠CMA+∠CNB=360°，

∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，

∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；

（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，

∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，

∵∠C=∠C′，

∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，

∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；

故答案为：∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；

（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，

∵∠DMA+∠CNB=360°，

∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，

∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，

∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，

故答案为：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．