Question

如图，一段抛物线y=-x²+4x（0≤x≤4），记为C₁，它与x轴交于点O、A₁；将C₁绕点A₁旋转180°得C₂，交x轴于点A₂；将C₂绕点A₂旋转180°得C₃，交x轴于点A₃…如此进行下去，直至得抛物线C₂₀₁₅．若点P（m，3）在第2015段抛物线C₂₀₁₅上，则m=

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：规律型

分析：先利用抛物线与x轴的交点问题得到第1段抛物线与x轴交点坐标为（0，0），（4，0），得到OA₁=4，利用旋转的性质得到OA₂=2×4，同理可得OA₃=3×4，依次规律得到OA₂₀₁₅=2014×4=8060，于是可理解为第2015段抛物线C₂₀₁₅看作第1段抛物线y=-x²+4x（0≤x≤4）向右平移8056个单位，接着确定抛物线y=-x²+4x上点（1，3）和点（3，3），然后把它们向右平移8056个单位所得对应点的坐标为（8057，3），（8059，3），由此可得m的值为8057或8059．

解答：解：∵一段抛物线：y=-x（x-4）（0≤x≤4），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（4，0），
∴OA₁=4，
∵将C₁绕点A₁旋转180°得C₂，交x轴于点A₂；
∴OA₂=2×4=8，
同理可得OA₃=3×4=12，
…
∴OA₂₀₁₅=2014×4=8060，
∴第2015段抛物线C₂₀₁₅可看作第1段抛物线y=-x²+4x（0≤x≤4）向右平移8056个单位，
当y=3时，-x²+4x=3，解得x₁=1，x₂=3，
∴点（1，3）和点（3，3）向右平移8056个单位所得对应点的坐标为（8057，3），（8059，3），
∴m的值为8057或8059．
故答案为8057或8059．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了从特殊到一般解决规律型问题的方法．