Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，M、N分别在BC、AC上，且BM=CN．
（1）求证：DM=DN；
（2）判断△DMN的形状，并说明理由；
（3）求四边形CMDN的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连结CD，根据等腰直角三角形的性质可得CD=BD，∠B=∠DCN，根据SAS证明△DBM≌△DCN，再根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BDM=∠CDN，再根据等腰直角三角形的性质和角的等量关系可得∠MDN=90°，再根据等腰直角三角形的判定即可求解；
（3）根据全等三角形的性质可得△DBM的面积=△DCN的面积，依此可得四边形CMDN的面积=△DCB的面积，根据三角形的面积公式即可求解．

解答：解：（1）连结CD．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD=BD，∠B=∠DCN，∠CDB=90°，
在△DBM与△DCN中，

CD=BD ∠B=∠DCN BM=CN

，
∴△DBM≌△DCN（SAS），
∴DM=DN；

（2）∵△DBM≌△DCN，
∴∠BDM=∠CDN，
∴∠MDN=∠CDN+∠CDM=∠BDM+∠CDM=∠CDB=90°，
∵DM=DN，
∴△DMN是等腰直角三角形；

（3）∵△DBM≌△DCN，
∴△DBM的面积=△DCN的面积，
∴四边形CMDN的面积=△DCB的面积=4×（4÷2）÷2=4．
故四边形CMDN的面积是4．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了全等三角形对应边，对应角相等的性质，本题中求证△DBM≌△DCN是解题的关键．