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【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3x轴交于A,B,与y轴交于C,抛物线的顶点为D,直线lCx轴于E(4,0).

(1)写出D的坐标和直线l的解析式;

(2)P(x,y)是线段BD上的动点(不与B,D重合),PFx轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求Sx之间的函数关系式,并求S的最大值;

(3)点Qx轴的正半轴上运动,过Qy轴的平行线,交直线lM,交抛物线于N,连接CN,将CMN沿CN翻转,M的对应点为M′.在图2中探究:是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x+3;(2);(3)Q的坐标为(,0)或(4,0).

【解析】试题(1)先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标,再求出C点坐标,然后利用待定系数法求直线l的解析式;

2)先根据抛物线与x轴的交点问题求出B30),再利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-2x+6,则Px-2x+6),然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+x1≤x≤3),再利用而此函数的性质求S的最大值;

3)如图2,设Qt0)(t0),则可表示出Mt-t+3),Nt-t2+2t+3),利用两点间的距离公式得到MN=|t2-t|CM=t,然后证明NM=CM得到|t2-t|=t,再解绝对值方程求满足条件的t的值,从而得到点Q的坐标.

试题解析:(1∵y=-x2+2x+3=-x-12+4

∴D14),

x=0时,y=-x2+2x+3=3,则C03),

设直线l的解析式为y=kx+b

C03),E40)分别代入得,解得

直线l的解析式为y=-x+3

2)如图(1),当y=0时,-x2+2x+3=0,解得x1=-1x2=3,则B30),

设直线BD的解析式为y=mx+n

B30),D14)分别代入得,解得

直线BD的解析式为y=-2x+6

Px-2x+6),

∴S= -2x+6+3x=-x2+x1≤x≤3),

∵S=-x-2+

x=时,S有最大值,最大值为

3)存在.

如图2,设Qt0)(t0),则Mt-t+3),Nt-t2+2t+3),

∴MN=|-t2+2t+3--t+3|=|t2-t|

CM==t

∵△CMN沿CN翻转,M的对应点为M′M′落在y轴上,

QN∥y轴,

∴MN∥CM′NM=NM′CM′=CM∠CNM=∠CNM′

∴∠M′CN=∠CNM

∴∠M′CN=∠CNM′

∴CM′=NM′

∴NM=CM

∴|t2-t|=t

t2-t=t,解得t1=0(舍去),t2=4,此时Q点坐标为(40);

t2-t=-t,解得t1=0(舍去),t2=,此时Q点坐标为(0),

综上所述,点Q的坐标为(0)或(40).

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