Question

6．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，等量代换即可得到结论；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；

（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴$\frac{5}{2}$∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．