Question

已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M、N在直线BC上，∠MAN=45°，现将∠MAN旋转．
（1）当点M、N在BC上时，则线段BM、CN、MN的数量关系如何？
（2）当点M在BC延长线上，点N在CB上，直接写出线段BM、CN、MN的数量关系；
（3）当点M在BC上，点N在BC延长线上，直接写出线段BM、CN、MN的数量关系．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：常规题型

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得∠B=∠ACB=45°把△ABM绕点A顺时针旋转90°可得△ACM′，连接NM′，如图1，根据旋转的性质得AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，于是有∠BCM′=45°+45°=90°，再证明△ANM≌△ANM′，得到MN=M′N，然后在Rt△CNM′中，根据勾股定理得CN²+CM′²=M′N²所以CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN绕点A顺时针旋转90°得到△ACN′，连接MN′，如图2，与（1）一样可证明∠BCN′=90°，△ANM≌△AN′M，则MN=MN′，在Rt△CNM′中，根据勾股定理得CN′²+CM²=M′N²，则BN²+CM²=MN²，所以（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ACM′，连接MN′，如图3，与（1）一样可证明∠BCM′=90°，△ANM≌△ANM′，则MN=MN′，在Rt△CNM′中，根据勾股定理得CN²+CM′²=M′N²，则CN²+BM²=MN²．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
把△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ACM′，连接NM′，如图1，
∴AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，
∴∠BCM′=45°+45°=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠M′AN=45°，
在△ANM和△ANM′中，

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

，
∴△ANM≌△ANM′（SAS），
∴MN=M′N，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN绕点A顺时针旋转90°得到△ACN′，连接MN′，如图2，
同样证明∠BCN′=90°，
△ANM≌△AN′M，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN′²+CM²=M′N²，
∴BN²+CM²=MN²，
即（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ACM′，连接MN′，如图3，
同样证明∠BCM′=90°，
△ANM≌△ANM′，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理．