Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N.OD⊥AB，OE⊥AC.

(1)求证：OD=OE.

(2)若O为MN的中点，判断△ABC的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形.

【解析】

（1）作OH⊥BC，根据角平分线的性质得到OD=OH,OE=OH,故OD=OE.

（2）根据O点为MN中点得到OM=ON，根据HL可证明Rt△MOD≌Rt△NOE,得到∠AMN=∠ANM,再根据平行得到∠ABC=∠ACB，即可得到△ABC为等腰三角形.

（1）作OH⊥BC，

∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC.

∴OD=OH,OE=OH,

故OD=OE.

（2）∵O点为MN中点

∴OM=ON，

∵OD⊥AB，OE⊥AC.

∴△MOD与△NOE为Rt△，

又OD=OE，

∴Rt△MOD≌Rt△NOE（HL）

∴∠AMN=∠ANM,

∵MN∥BC

∴∠ABC=∠ACB，

故△ABC为等腰三角形.