Question

19．阅读下列材料：
春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实．春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多．这都对汽车租赁市场起到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司．
某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．
根据以上材料解答下列问题：
设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）．
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为1500-50x元（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？

Answer 1

分析 （1）公司每日租出x辆车，则有20-x辆车没有租出，则租金每辆增加50（20-x）辆，据此即可求解；
（2）把收益表示成x的函数，根据二次函数的性质求得函数值的最大值即可；
（3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y=0，首先求得当y=0时对应的x的值，然后根据二次函数的性质确定x的值．

解答 解：（1）每辆车的日租金是500+50（20-x）=1500-50x（0≤x≤20，x为整数）．
（2）∵日租金收入=每辆车的日租金×日租出车辆的数量，
∴日租金收入=x（1500-50x）．
又∵日收益=日租金收入-平均每日各项支出，
∴y=x（1500-50x）-6250
=-50x²+1500x-6250=-50（x-15）²+5000．
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴0≤x≤20．
∴当x=15时，y有最大值5000．
∴当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元．
（3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即y=0．
∴-50（x-15）²+5000=0，解得x₁=25，x₂=5．
∴当5＜x＜25时，y＞0．
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴当每日租出5＜x≤20（x为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利．

点评 本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，实际问题中的求最值问题常用的方法是转化为函数问题，求函数的最值．