【题目】如图,抛物线与x轴交于点A(,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(),求△ABN的面积S与t的函数关系式;
(3)若且时△OPN∽△COB,求点N的坐标.
【答案】(1);(2);(3)(, )或(1,2).
【解析】试题(1)可设抛物线的解析式为,用待定系数法就可得到结论;
(2)当时,点N在x轴的上方,则NP等于点N的纵坐标,只需求出AB,就可得到S与t的函数关系式;
(3)由相似三角形的性质可得PN=2PO.而PO=,需分和0<t<2两种情况讨论,由PN=2PO得到关于t的方程,解这个方程,就可得到答案.
试题解析:(1)设抛物线的解析式为,把C(0,1)代入可得: ,∴,∴抛物线的函数关系式为: ,即;
(2)当时, >0,∴NP===,
∴S=ABPN==;
(3)∵△OPN∽△COB,∴,∴,∴PN=2PO.
①当时,PN===,PO== ,∴,整理得:,解得: =, =,∵>0, <<0,∴t=,此时点N的坐标为(, );
②当0<t<2时,PN===,PO==t,∴,整理得: ,解得: =, =1.∵<0,0<1<2,∴t=1,此时点N的坐标为(1,2).
综上所述:点N的坐标为(, )或(1,2).
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+5.
(1)将y=x2﹣4x+5化成y=a (x﹣h)2+k的形式;
(2)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标;
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大?
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【题目】二次函数(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是
A. a>0 B. 当﹣1<x<3时,y>0
C. c<0 D. 当x≥1时,y随x的增大而增大
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【题目】炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线.现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600m,炮弹运行的最大高度为1200m.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若在A、B之间距离A点500m处有一高350m的障碍物,计算炮弹能否越过障碍物.
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【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根,且其中一个根为另一根的2倍,则称这样的方程为“倍根方”,以下关于倍根方程的说法正确的是______(填正确序号)
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程.
②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0.
③若点(p,q)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程且相异两点M(1+t,s)、N(4﹣t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,则方程ax2+bx+c=0必有一个根为.
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【题目】如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角和摆放在一起,为公共顶点,,它们的斜边长为2,若固定不动,绕点旋转,、与边的交点分别为、(点不与点重合,点不与点重合),设,.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对加以证明.
(2)求与的函数关系式,直接写出自变量的取值范围.
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【题目】如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=(x>0)的图象经过点A,若S△BEC=8,则k=_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是菱形,∠B=60°,反比例函数y=(k>0)的图象经过点C,若将菱形向下平移2个单位,点B恰好落在反比例函数的图象上,则反比例函数的表达式为( )
A. B. C. D.
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