Question

9．在梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在AD、DC上（点E与A、D不重合）；且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求出 y关于x的函数关系；
（3）当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°，由等腰梯形的性质可得∠A=∠D，等量代换易得∠A=∠BEF，可得∠DEF=∠ABE，证得结论；
（2）由△ABE∽△DEF，利用相似三角形对应边的比相等，得出y关于x的函数关系；
（3）利用配方法，将（2）中的函数关系式写成顶点式，可求最大值．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，AB=DC，∠ABC=60°，
∴∠A=∠D，∠A=120°
∵∠BEF=120°，
∴∠A=∠BEF，
又∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
在△AEB中，∠AEB+∠A+∠ABE=180°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵△ABE∽△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AE}{DF}$，即$\frac{6}{6-x}$=$\frac{x}{y}$，
解得y=-$\frac{1}{6}$x²+x；

（3）解：∵y=-$\frac{1}{6}$x²+x=y=-$\frac{1}{6}$（x-3）²+$\frac{3}{2}$，且-$\frac{1}{6}$＜0，
∴当x=3时，y_最大值=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质与二次函数的综合运用．关键是利用相似三角形的性质得出x、y的关系式．