Question

k为何值时，方程组

y=kx+2 y2-4x-2y+1=0

，满足下列条件：
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解．

Answer 1

考点：高次方程

专题：计算题

分析：把方程组解的问题转化为一元二次方程解的问题：
消去y得到关于x的一元二次方程k²x²+2（k-2）x+1=0，
（1）根据根的判别式得到k²≠0且△=4（k-2）²-4k²=0，解得k=1，即k=1时，方程组有两组相等的实数解，然后求出x，再利用代入法计算出y；
（2）根据根的判别式得到k²≠0且△=4（k-2）²-4k²＞0，解得k＜1且k≠0；
（3）根据根的判别式得到k²≠0且△=4（k-2）²-4k²＜0，解得k＞1．

解答：解：

y=kx+2① y2-4x-2y+1=0②

，
把①代入②得（kx+2）²-4x-2（kx+2）+1=0，
整理得k²x²+2（k-2）x+1=0，
（1）当k²≠0且△=4（k-2）²-4k²=0时，x有两个相等的值，解得k=1，
则x²-2x+1=0，解得x₁=x₂=1，
把x₁=x₂=1代入①得y₁=y₂=3，
所以方程组的解为

x=1 y=3

；
（2）当k²≠0且△=4（k-2）²-4k²＞0时，x有两个不相等的值，解得k＜1且k≠0，
所以当k＜1且k≠0时，方程组有两组不相等的实数解；
（3）当k²≠0且△=4（k-2）²-4k²＞0时，x有两个不相等的值，解得k＞1，
所以当k＞1时，方程组没有实数解．

点评：本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．