Question

【题目】如图，两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍船只停在C处海域，AB=60（ +1）海里，在B处测得C在北偏东45°反向上，A处测得C在北偏西30°方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=100海里．

（1）分别求出AC，BC（结果保留根号）．
（2）已知在灯塔D周围80海里范围内有暗礁群，在A处海监穿沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，

可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，

设CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x，

在Rt△CAE中，AE= x，

∵AB=60（ +1）海里，

∴x+ x=60（ +1），

解得：x=60 ，

则AC= x=120，

BC= x=60 ，

答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为60 海里

（2）解：如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，

在△ADF中，

∵AD=100，∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=50 ≈86.6＜100，

故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险

【解析】（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE，根据AB=BE+AE建立方程，继而可求出AC、BC的长度。
（2）添加辅助线，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断。
【考点精析】本题主要考查了特殊角的三角函数值和解直角三角形的相关知识点，需要掌握分母口诀：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口诀：“123，321，三九二十七”；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．