Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦BC长为，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

（1）求AD的长．

（2）求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB=∠ADB=90°，由勾股定理求出直径的长，再根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，并由弧、弦之间的关系可得出其所对的弦也相等，进而得到三角形ABD是等腰直角三角形，由勾股定理可求出AD的长；（2）过角平分线上的点D向两角两边分别作垂线，即可得到两个全等的直角三角形和一个正方形，再根据正方形的性质即可求出CD的长。

解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

∴

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠DCA=∠BCD，

∴AD=DB，

∴AD=BD，

（2）过点D分别作DM⊥CA于M，DN⊥CB于N，

可证DM=DN，

再证Rt△DAM≌Rt△DBN，

得AM=BN，

易证正方形DMCB，

故CM=CN，

设AM=x，则，，

∴