Question

【题目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．

（1）问题发现：

如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想：

①AF与BE的数量关系是　 　；

②∠ABE＝　 度．

（2）拓展探究：

如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明．

（3）解决问题

如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长．

Answer 1

【答案】（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4．

【解析】

（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE；

②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解；

（2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α；

（3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得、，代入数据求解即可；

（1）问题发现：

如图1中，设AB交DE于O．

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵DF∥AC，

∴∠FDB＝∠C＝90°，

∴∠DFB＝∠DBF＝45°，

∴DF＝DB，

∵∠ADE＝∠FDB＝90°，

∴∠ADF＝∠EDB，

∵DA＝DE，DF＝DB

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF＝BE，∠DAF＝∠E，

∵∠AOD＝∠EOB，

∴∠ABE＝∠ADO＝90°

故答案为：①AF＝BE，②90°．

（2）拓展探究：

结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：

∵DF‖AC

∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB，

∴∠ABC＝∠DFB，

∴DB＝DF，

∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，

∴∠ADF＝∠EDB，

∵AD＝DE，DB＝DF

∴△ADF≌△EDB（SAS），

∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD

∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，

∴∠ABE＝∠FDB＝α．

（3）解决问题

①如图（3）中，当点D在BC上时，

由（2）可知：BE＝AF，

∵DF∥AC，

∴，

∵AB＝8，

∴AF＝2，

∴BE＝AF＝2，

②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，

∵AC∥DF，

∴，

∵AB＝8，

∴BE＝AF＝4，

故BE的长为2或4．