Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x上，顶点A的坐标为（3，3）.

（1）求直线OA的解析式；

（2）如图2，如果点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PC∥y轴，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），以A、C、P、B为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式；

（3）如图3，如果点D（2，a）在直线AB上. 过点O、D作直线OD，交直线PC于点E，在CE的右侧作矩形CGFE，其中CG=，请你直接写出矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.

图1 图2 图3

 

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，根据A（3，3）在直线OA上，得到k=1，即直线OA的解析式y=x．

（2）过点A作AM⊥x轴于点M．已知A点的坐标，即可求出M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m），欲求以A、C、P、B为顶点的四边形的面积，需要分情况考虑：①0＜m＜3时，②3＜m＜6时，③m＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；

（3）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围．

试题解析：（1）设直线OA的解析式为y=kx．

∵直线OA经过点A（3，3），

∴3=3k，解得 k=1．

∴直线OA的解析式为y=x．

（2）过点A作AM⊥x轴于点M．

∴M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m）．

当0＜m＜3时，如答图①．

 

 

S=S△AOB﹣S△COP

=AM•OB﹣OP•PC

=．

当3＜m＜6时，如答图②．

 

 

S=S△COB﹣S△AOP

=PC•OB﹣OP•AM

=．

当m＞6时，如答图③．

 

 

S=S△COP﹣S△AOB

=PC•OP﹣OB•AM

=．

（3）当C在直线OA上，G在直线AB上时，矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形，此时m=，

当m=3时C点和A点重合，则矩形CGFE与△AOB无重叠部分

所以m的取值范围时≤m＜3．

考点：1、待定系数法；2、等腰直角三角形的性质；3、勾股定理；4、矩形的性质