【题目】如图1,抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于A(1,0),B(-3,0),与 y 轴交于C(0,3),顶点是G.
(1)求抛物线的的解析式及顶点坐标G.
(2)如图1,点D(x,y)是线段BG上的动点(不与B,G重合),DE⊥x轴于E,设四边形OEDC的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值.
(3)如图2,将抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 k 个单位,平移后的顶点式 G' ,与 x 轴的交点是 A',B' .若△A'B'G' 是直角三角形,求 k 的值.
【答案】
(1)解:∵与 x 轴的交点为A(1,0),B(-3,0),
∴设二次函数为 y=a(x+1)(x3),
把C(0,3)代入 y=a(x+1)(x3),
∴ a=-1 ,
∴ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.
∴G(-1,4).
(2)解:设直线BG解析式为 :y=kx+b
∵B(3,0),G(1,4) 在直线BG上,
∴,
∴,
∴ 直线BG解析式为:y=2x+6,
∴ D(x,2x+6)
∴ S==
=-x2-
x ( 3<x<1 ),
当 x=-=-
时,Smax=
.
(3)解:设平移后的抛物线为 y=(x+1)2+m,
∴G'(-1,m),A'(-1-,0),B'(-1+
,0),
∴A'B'=2,B'G'=A'G'=
,
∵△A'B'G'为直角三角形,
∴B'G'2+A'G'2=A'B'2,
∴m2m=0,
∴ m1=1 , m2=0 (舍),
∴ y=(x+1)2+1,
∵由 y=(x+1)2+4 得到 y=(x+1)2+1
∴ 向下平移3个单位,
∴ k=3.
【解析】(1)根据题意可设二次函数为 y=a(x+1)(x3),将C(0,3)代入 y=a(x+1)(x3),从而求出抛物线解析式,即可得出顶点坐标.
(2)设直线BG解析式为 :y=kx+b把B(3,0),G(1,4) 代入即可得到一个二元一次方程组,解之即可得出直线BG解析式为:y=2x+6,从而表示D(x,2x+6),再由S==
=-x2-
x ( 3<x<1 ),由二次函数的性质得出当 x=-
=-
时,Smax=
.
(3)设平移后的抛物线为 y=(x+1)2+m,根据题意得G'(-1,m),A'(-1-,0),B'(-1+
,0),A'B'=2
,B'G'=A'G'=
,
在Rt△A'B'G'中,由勾股定理得m2m=0,从而求出m值,即可得出k值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法),还要掌握二次函数图象的平移(平移步骤:(1)配方 y=a(x-h)2+k,确定顶点(h,k)(2)对x轴左加右减;对y轴上加下减)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A、B两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:
种植户 | 种植A类蔬菜面积 (单位:亩) | 种植B类蔬菜面积 (单位:亩) | 总收入 (单位:元) |
甲 | 3 | 1 | 12500 |
乙 | 2 | 3 | 16500 |
说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等.
(1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
(2)某种植户准备租20亩地用来种植A、B两类蔬菜,为了使总收入不低于63000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案.
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【题目】某校为庆祝国庆节举办游园活动,小军来到摸球兑奖活动场地,李老师对小军说:“这里有甲、乙两个盒子,里面都装有一些乒乓球,你只能选择在其中一个盒子中摸球。”获奖规则如下:
甲盒中有白色乒乓球4个,黄色乒乓球1个,一人只能摸一次且一次摸出一个球,若这个球为黄色球,则可获得玩具熊一个,否则不得奖;
乙盒中有白色乒乓球2个,黄色乒乓球3个,一人只能摸一次且一次摸出两个球,若这两个球均为黄色球,则可获得玩具熊一个,否则不得奖;
请问小军在哪个盒子内摸球获得玩具熊的机会更大?请用概率知识说明理由.
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【题目】如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心O,另一边所在直线与半圆相交于点D、E,量出半径OC=5cm,弦DE=8cm,求直尺的宽度.
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【题目】在湖州创建国家卫生文明城市的过程中,张辉和夏明积极参加志愿者活动,当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择:①清理类岗位:清理花坛卫生死角;清理楼道杂物(分别用 表示)。
②宣传类岗位:垃圾分类知识宣传;交通安全知识宣传(分别用 表示)。
(1)张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名,恰好选择清理类岗位概率为是;
(2)若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名,请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率.
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【题目】画图并填空:如图,每个小正方形的边长为1个单位,每个小正方形的顶点叫格点.
(1)将△ABC向左平移4格,再向下平移1格,请在图中画出平移后的△A'B'C';
(2)利用网格线在图中画出△ABC的中线CD,高线AE;
(3)△A'B'C'的面积为 .
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【题目】假设有足够多的黑白围棋子,摆成一个“中”字,下列图形中,第①个图形中有4 枚黑子和4枚白子,第②个图形中有6枚黑子和11枚白子,第③个图形中有8枚黑子和18枚白子,…,按此规律排列,则第⑧个图形中黑子和白子的枚数分别为( )
A.14和48
B.16和48
C.18和53
D.18和67
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于A,OP交⊙O于C,连接BC.
(Ⅰ)如图①,若∠P=20°,求∠BCO的度数;
(Ⅱ)如图②,过A作弦AD⊥OP于E,连接DC,若OE= CD,求∠P的度数.
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