[题目] (1)阅读理解: 我们知道.只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角.但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成.勾尺的直角顶点为P.“宽臂的宽度=PQ= QR = RS,(这个条件很重要哦!)勾尺的一边 MN 满足M, N, Q三点共线(所以PQ ⊥ MN). 下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】 (1)阅读理解:

我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度=PQ= QR = RS,(这个条件很重要哦！)勾尺的一边 MN 满足M, N, Q三点共线(所以PQ ⊥ MN).

下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程:

第一步:画直线DE使DE //BC，且这两条平行线的距离等于PQ;

第二步:移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上;

第三步:标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP:

请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线、 .

（2）在(1)的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程:

∵ ，BQ ⊥ PR，

∴BP= BR.（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）

∴∠RBQ=∠PBQ，

∵PT⊥BC，PQ⊥BQ，PT=PQ，

∴∠ = ∠ . （角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

∴∠ = = ∠ = ∠

（3）在（1）的条件下探究：

∠ABS=∠ABC是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中∠ABC外部画出∠ABV =∠ABC（无需写画法，保留画图痕迹即可）

【答案】（1）BP，BQ；（2）见解析；（3）不成立，图见解析.

【解析】

（1）根据图形可知BP，BQ是角的三等分线；

（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上结合图形填空即可；

（3）根据阅读材料进行判断可知不成立，画图：以点Q为圆心，大于QR为半径画弧，交AB两点，分别以这两点为圆心同样长大于QR为半径画弧交于一点O，连接BO即是所求.

（1）∠ABC的三等分线是射线BP和射线BQ；

（2）∵PQ=QR，BQ ⊥ PR，

∴BP=BR.（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）

∴∠RBQ=∠PBQ，

∵PT⊥BC，PQ⊥BQ，PT=PQ，

∴∠PBQ= ∠PBC（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

∴∠RBQ=∠PBQ=∠PBC

故答案为：（1）BP，BQ；（2）PQ=QR，PBQ，PBC，RBQ，PBQ，PBC；

（3）在（1）的条件下探究：∠ABS=∠ABC不成立，在ABC外部画出∠ABV =∠ABC如图：

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