Question

【题目】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E，F，G，H，若对角线AC=BD ，判断四边形EFGH的形状并说明理由。

Answer 1

【答案】菱形，理由见解析

【解析】

由E和F分别为AB与BC的中点，得到EF为三角形ABC的中位线，即EF平行AC且EF=AC，同理得到HG平行于AC，且等于AC的一半，可得出EF与HG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到HEFG为平行四边形，再由EH等于BD的一半，EF等于AC的一半，且BD=AC，得到邻边EH=EF，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

∵E、F分别为AB、BC的中点，

∴EF为△ABC的中位线，

∴EF=AC，EF∥AC，

∵H、G分别为AD、DC的中点，

∴HG为△ADC的中位线，

∴HG=AC，HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG，

∴四边形HEFG为平行四边形，

又E、H分别为AB、AD的中点，

∴EH为△ABD的中位线，

∴EH=BD，

∵AC=BD，

∴EF=EH，

则四边形HEFG为菱形．