Question

AB是⊙O的直径，CE⊥AB于E，

AC

=

CD

，AD与CE交于点F，AB=10，AC=

30

（1）求证：AF=CF；
（2）求AE的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结BC，如图，根据圆周角定理，AB是⊙O的直径得到∠2+∠BCE=90°，而∠BCE+∠B=90°，则∠B=∠2，再由

AC

=

CD

得∠B=∠1，所以∠1=∠2，于是根据等腰三角形的判定定理有AF=CF；
（2）证明Rt△ACE∽Rt△ABC，然后利用相似比可计算出AE．

解答：（1）证明：连结BC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠2+∠BCE=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B=90°，
∴∠B=∠2，
∵

AC

=

CD

，
∴∠B=∠1，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（2）解：∵∠B=∠2，
∴Rt△ACE∽Rt△ABC，
∴AE：AC=AC：AB，即AE：

30

=

30

：10，
∴AE=3．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质．