Question

【题目】如图，直线y＝﹣2x+6与x轴，y轴分别交A，B两点，点A关于原点O的对称点是点C，动点E从A出发以每秒1个单位的速度运动到点C，点D在线段OB上满足tan∠DEO＝2，过E点作EF⊥AB于点F，点A关于点F的对称点为点G，以DG为直径作⊙M，设点E运动的时间为t秒；

（1）当点E在线段OA上运动，t＝　　时，△AEF与△EDO的相似比为1：；

（2）当⊙M与y轴相切时，求t的值；

（3）若直线EG与⊙M交于点N，是否存在t使NG＝，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t＝或5；（3）存在，t＝或或．

【解析】

（1）先求直线与坐标轴的交点坐标，再证△AEF∽△EDO∽△ABO，由△AEF与△EDO的相似比为1：，即可求得t的值；

（2）由⊙M与y轴相切可知：DG⊥y轴，分两种情况：0≤t≤3或3＜t≤6，分别由D、G的纵坐标相等建立方程求解即可；

（3）分三种情况：0≤t≤或＜t≤3或3＜t≤6，分别建立方程求解即可．

解：（1）在y＝﹣2x+6中，令x＝0，得：y＝6，

令y＝0，得：﹣2x+6＝0，

解得：x＝3，

∴A（3，0），B（0，6），C（﹣3，0）

∴OA＝3，OB＝6，AB＝3，AE＝t，OE＝3﹣t，

∴tan∠BAO＝＝2

∵tan∠DEO＝2

∴∠BAO＝∠DEO

∵EF⊥AB

∴∠AFE＝∠DOE＝90°

∴△AEF∽△EDO∽△ABO

，即

∴AF＝t；

∵△AEF与△EDO的相似比为1：，

∴，即OE＝AF

∴3﹣t＝×t，

解得：t＝；

故答案为：t＝；

（2）∵⊙M与y轴相切

∴DG⊥y轴

当0≤t≤3时，

∵tan∠DEO＝2

∴

∴

∵，△AEF∽△ABO

∴

∴

∵点A、G关于点F对称

∴

∴

将代入中，得，

解得，

∴G（3﹣t，t），D（0，6﹣2t），

∴t＝6﹣2t，解得：t＝；

当3＜t≤6时，同理得G（3﹣t，t），D（0，2t﹣6），

∴t＝2t﹣6，解得：t＝5，

综上所述，当⊙M与y轴相切时，t＝或5；

（3）存在．

当0≤t≤时，G（3﹣t，t），D（0，6﹣2t），

∵点A关于点F的对称点为点G，EF⊥AB

∴EG＝EA＝t

∵∠OEG＝∠OAB+∠EGA＝2∠OAB，∠OED＝∠OAB

∴∠GED＝∠OED＝∠OAB

∵DG为直径

∴∠DNG＝∠DNE＝∠DOE＝90°，DE＝DE

∴△DEN≌△DEO（AAS）

∴EN＝OE＝3﹣t，NG＝EN﹣EG＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，

∴3﹣2t＝，

解得：t＝，

当＜t≤3时，NG＝EG﹣EN＝t﹣（3﹣t）＝2t﹣3

∴2t﹣3＝，

解得：t＝；

当3＜t≤6时，如图2，连接DN，过G作GH⊥x轴于H，

∵DG是直径，

∴∠DNG＝∠DNE＝90°，

∵∠DMN＝∠EMO

∴△DMN∽△EMO

∴∠MDN＝∠OEM

∵GH∥y轴

∴，即，

由（2）得，

∵轴，

∴ ，，

∴，

∴DM＝OD﹣OM＝2（t﹣3）﹣（t﹣3）＝（t﹣3）

∵tan∠OEM＝

∴EM＝OE＝（t﹣3），

∴sin∠OEM＝＝＝sin∠MDN＝

∴MN＝×（t﹣3）＝（t﹣3）

∴NG＝EG﹣EM﹣MN＝t﹣（t﹣3）﹣（t﹣3）＝﹣t，

∴，

解得：t＝；

综上所述，t＝或或．