Question

【题目】如图（1），已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．

（1）求直线y=3与抛物线交点的坐标；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图⑴所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图（2）所示）．

①当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线与抛物线交点的坐标为和；（2）①点不在直线上，理由详见解析；②存在最大值，最大值为．

【解析】

（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+4，将（0，0）代入求出a，再把代入即可解决问题；

（2）①由（1）中抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解析式就可以判断P点是否在直线ME上．

②设出点N（t，﹣（t﹣2）2+4），可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与t的函数关系式，从而可以求出结论．

（1）因所求抛物线的顶点的坐标为，故可设其关系式为

又抛物线经过，于是得，

解得

所求函数关系式为，

即

把代入得

解得：，

直线与抛物线交点的坐标为和

（2）①点不在直线上．

根据抛物线的对称性可知点的坐标为，

又的坐标为，

设直线的关系式为

于是得，

解得

所以直线的关系式为．

由已知条件易得，当时，，

点的坐标不满足直线的关系式．

当时，点不在直线上．

②存在最大值．

理由如下：

点在轴的非负半轴上，且在抛物线上，

．

点的坐标分别为、

，

，

（i）当，即或时，

以点为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为，

．

（ii）当时，以点为顶点的多边形是四边形．

，，

其中，由，，此时最大．

综上所述，当时，以点为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．

说明：（ii）中的关系式，当和时也适合